Efeito Hall na mecânica de GraceliMECÂ NICA

O efeito Hall quântico, também chamado de efeito Hall quântico inteiro, é uma versão do efeito Hall em mecânica quântica, observado em sistemas bidimensionais de elétrons^{[nota 1]} ^[1]^[2] submetidos a baixas temperaturas e fortes campos magnéticos, em que a condutividade Hall $\sigma$ sofre certas transições quânticas para assumir valores quantizados:

\sigma ={\frac {I_{\text{canal}}}{V_{\text{Hall}}}}=\nu \;{\frac {e^{2}}{h}}.

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$

E\,

V\,

Nessa expressão $I_{\text{canal}}$ é o canal, $V_{\text{Hall}}$ é a tensão de Hall, $�$ é a carga do elétron e $ℎ$ é a constante de Planck

O efeito Hall está relacionado ao surgimento de uma diferença de potencial em um condutor elétrico, transversal ao fluxo de corrente e um campo magnético perpendicular à corrente. Esse fenômeno foi descoberto em 1879 por Edwin Herbert Hall^[1], e é extremamente importante no estudo da condutividade, pois a partir do coeficiente de Hall é possível determinar o sinal e a densidade de portadores de carga em diferentes tipos de materiais. O efeito Hall é a base de diversos métodos experimentais utilizados na caracterização de metais e semicondutores.

Descoberta

Em 1879, Edwin Herbert Hall descobriu o efeito que leva seu nome durante seu doutorado em física sob a supervisão de Henry Augustus Rowland na Universidade Johns Hopkins em Baltimore, Maryland. Em seus estudos experimentais sobre a influência do campo magnético nos portadores de carga da corrente elétrica, ele determinou a existência de portadores de carga negativa muitos anos antes da descoberta dos elétrons por Joseph John Thomson. Segundo seu trabalho, o campo magnético desviaria o movimento de cargas eletrônicas dentro de um condutor e a deflexão poderia ser medida como uma voltagem, $V_{H}$ , perpendicular ao fluxo das cargas (vide Força magnética). Essa diferença de potencial, também conhecida como voltagem Hall, revela informações essenciais sobre os portadores de carga em um semicondutor, incluindo se são elétrons negativos ou quase partículas positivas, sua velocidade em um campo elétrico ou sua “mobilidade” (µ) e sua densidade (n) dentro do semicondutor.^[2]

Teoria

Durante seus estudos de doutorado, Edwin Hall buscava entender qual a influência de um campo magnético externo sobre um fio condutor. Ele queria entender se a força devido a este campo externo atuava sobre os portadores de corrente elétrica ou sobre o fio como um todo. Hall acreditava que essa força magnética atuaria sobre os portadores de carga, fazendo com que a corrente se deslocasse para uma determinada região do fio, e portanto, a resistência do fio aumentaria. Apesar de não ter observado tal aumento na resistência do fio em seus experimentos, Hall sabia que de alguma forma a corrente elétrica era alterada sem que a resistência fosse modificada. Ele propôs a presença de um estado de estresse em uma determinada região do condutor, devido ao acúmulo de portadores de carga, que originaria uma diferença de potencial transversal mais tarde conhecida como tensão de Hall.

Para entender melhor a origem desse fenômeno vamos considerar a definição para corrente elétrica segundo o modelo de Drude, ou seja, vamos considerar que a corrente é formada por um fluxo de portadores de carga (elétrons, íons ou lacunas) que seguem uma trajetória linear até que se choquem com os átomos da rede, impurezas, fônons, etc. Em seus experimentos, Hall considerou um fio metálico conduzindo corrente elétrica ao longo do eixo x (com densidade de corrente $\mathbf {j} _{x}$ ), sob a ação de um campo magnético externo $\mathbf {B}$ aplicado ao longo do eixo z. A presença do campo faz com que os portadores de carga experimentem uma força magnética que causa uma deflexão na trajetória dos portadores na direção y. Essa mudança de trajetória gera separação de cargas ao longo da direção y e, consequentemente, um campo elétrico, $\mathbf {E} _{y}$ , conhecido como campo de Hall. haverá então um acúmulo de carga nas extremidades do elemento Hall, resultando na d.d.p. conhecida como potencial de Hall, $V_{H}$ . Para um metal simples, ou seja, com um único portador de carga, o potencial de Hall pode ser escrito como:

V_{H}={\frac {-IB}{nqd}}

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$

E\,

V\,

onde $�$ representa a densidade de portadores e $�$ a espessura do fio. Uma outra quantidade interessante relacionada ao efeito Hall é o coeficiente de Hall, que é a constante de proporcionalidade entre o campo de Hall e o produto do campo magnético com o fluxo de corrente

R_{H}={\frac {\mathbf {E} _{y}}{\mathbf {B} \mathbf {j} _{x}}}={\frac {dV_{H}}{IB}}={\frac {-1}{nq}}

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$

E\,

V\,

Como o sinal da força magnética é o mesmo para cargas positivas se movendo em uma determinada direção e cargas negativas se movendo na direção oposta, o sinal do coeficiente de Hall depende exclusivamente do campo de Hall. Assim, como o sinal de $\mathbf {E} _{y}$ depende exclusivamente do sinal da carga dos portadores, o coeficiente de Hall permite identificar se o fluxo de corrente se deve a portadores negativos ( $R_{H}<0$ ) ou positivos ( $R_{H}>0$ ). Desta maneira, podemos concluir que o efeito Hall, além de permitir a determinação da densidade de corrente e a mobilidade dos portadores ou do campo magnético, este também permite a distinção entre um fluxo de cargas positivas e negativas. O efeito Hall é a primeira prova real de que a corrente elétrica em metais se deve ao movimento dos elétrons e não dos prótons. Ainda mais, esse efeito demonstrou que em alguns materiais, especialmente semicondutores do tipo p, a maneira mais apropriada de se descrever a corrente elétrica é através do fluxo de buracos positivos ao invés de elétrons. Contudo, o efeito Hall gera confusões em alguns casos. Por exemplo, buracos se movendo para a esquerda na realidade são elétrons se movendo para a direita e portanto devemos ter o mesmo sinal para o coeficiente de Hall, o que não ocorre. Tal problema só pode ser solucionado quando consideramos a teoria quântica do transporte em sólidos [2].

Efeito Hall em semicondutores

A forma do coeficiente de Hall para semicondutores é mais complexa, uma vez que podemos ter dois tipos de portadores de carga, elétrons e buracos, com densidades e mobilidades diferentes. Para o caso de campos magnéticos moderados podemos escrever o coeficiente de Hall como sendo [3]

R_{H}={\frac {-n\mu _{e}^{2}+p\mu _{b}^{2}}{e(n\mu _{e}+p\mu _{b})}}

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$

E\,

V\,

onde $�$ e $�$ são as densidades e $\mu _{e}$ e $\mu _{b}$ são as mobilidades para os elétrons e buracos respectivamente. No caso de campos magnéticos altos o coeficiente de Hall é análogo ao caso de um único portador

R_{H}={\frac {-(p-nb^{2})}{e(p+nb)^{2}}}

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$

E\,

V\,

onde $b=\mu _{e}/\mu _{b}$ .

Efeito Hall quântico

Ver artigo principal: Quantum Hall Effect (em inglês)

Efeito observado em sistemas eletrônicos de duas dimensões sob baixas temperaturas e altos campos magnéticos. A característica marcante desse efeito é a presença de uma condutividade de Hall quantizada, onde a quantização esta relacionada aos níveis de Landau.

Efeito Hall com spin

Ver artigo principal: Spin Hall Effect (em inglês)

O efeito Hall com spin esta relacionado com a existência de um acúmulo de spin nas extremidades de um condutor com uma corrente de portadores. Neste caso, não é necessária a presença de um campo magnético externo para se observar o efeito. Esse efeito foi descoberto por I. Dyakonov e V.I.Perel, em 1971, e observado experimentalmente 30 anos mais tarde em semicondutores e metais sob criogenia e à temperatura ambiente.

Efeito Hall quântico com spin

Ver artigo principal: Quantum Spin Hall Effect (em inglês)

Observados em semicondutores de duas dimensões onde ocorre o acoplamento spin-órbita.

Efeito Hall anômalo

Em materiais ferromagnéticos (e materiais paramagnéticos na presença de um campo magnético), a resistividade Hall inclui uma contribuição adicional ao efeito Hall comum, conhecido como o efeito Hall anômalo. Esse efeito depende diretamente da magnetização do material, e é frequentemente maior que o efeito Hall comum. Embora este seja um fenômeno bem conhecido, ainda existem discussões sobre sua origem em diversos materiais. O efeito Hall anômalo pode ser um efeito extrínseco causado pelo espalhamento dos portadores de carga com spin, ou um efeito intrínseco que pode ser descrito em termos do efeito de Fase de Berry no espaço dos momentum do cristal [5].

Efeito Hall em gases ionizados

O efeito Hall em um gás ionizado (plasma) é significativamente diferente do efeito Hall em sólidos (onde o coeficiente de Hall $R_{H}$ é sempre muito inferior à unidade). Em um plasma, o coeficiente de Hall pode assumir qualquer valor, sendo dado pela relação entre a girofrequência do elétron, $\Omega _{e}$ , e a frequência de colisão entre os elétrons e as partículas pesadas $\nu$ ,

R_{H}={\frac {\Omega _{e}}{\nu }}={\frac {eB}{m_{e}\nu }}

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$

E\,

V\,

onde $m_{e}$ é a massa do elétron.

O valor do coeficiente de Hall é diretamente proporcional à intensidade do campo magnético. Fisicamente, sabemos que a trajetória dos elétrons é curvadas pela força magnética. No entanto, quando o coeficiente de Hall é baixo, o movimento do elétron entre duas colisões com as partículas pesadas é quase linear. Por outro lado, se o coeficiente de Hall é alto, o trajeto dos portadores é altamente curvado e a aproximação de trajetórias retilíneas não se aplica. No caso do gás ionizado, o vetor densidade de corrente não é mais colinear ao vetor campo elétrico, e o ângulo $\theta$ entre eles está relacionado ao coeficiente de Hall da seguinte maneira:

R_{H}=\cos {(\theta )}

. / $\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$

E\,

V\,

Energia do fóton = Energia necessária para remover um elétron + Energia cinética do elétron emitido

Mais detalhes em: Energia do fóton

Algebricamente:

hf=\phi +E_{c_{max}}\,

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$

E\,

V\,

Onde:

h é a constante de Planck,
f é a frequência do foton incidente,
$\phi =hf_{0}\$ é a função trabalho, ou energia mínima exigida para remover um elétron de sua ligação atômica,
$E_{c_{max}}={\frac {1}{2}}mv_{m}^{2}$ / $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ $E\,$ $V\,$ -
é a energia cinética máxima dos elétrons expelidos,
f0 é a frequência mínima para o efeito fotoelétrico ocorrer,
m é a massa de repouso do elétron expelido, e
vm é a velocidade dos elétrons expelidos.

E={\frac {hc}{\lambda }}

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$

E\,

V\,

{\frac {c}{\lambda }}=f

, /

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$

E\,

V\,

E=hf

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$

E\,

V\,

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

E=h{\nu }

$\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$

E\,

V\,

$|\phi \rangle \,$ = $\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ $E\,$ $V\,$ - $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ $E\,$ $V\,$ -

$|\phi \rangle \,$ = $\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ $E\,$ $V\,$ $F^{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ -

$|\phi \rangle \,$ = $\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ $E\,$ $V\,$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ + -

$|\phi \rangle \,$ = $\psi ^{*}$ $G*$ ${\hat {H}}$ $E\,$ $V\,$ $F^{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ + -

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

$G* = OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.$

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES E CAMPOS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI, E OUTROS.

equçaõ de Graceli para gravidade tensrial

$G$ = $G$ $R$ [ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ ] $\delta g^{\mu \nu }\$ $\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho }$ / $R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }.\!$ / $c$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ = $G$ $R$ [ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ ] $\delta g^{\mu \nu }\$ $\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho }$ / $R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }.\!$ / $\kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}$ / $c$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

equçaõ de Graceli para gravidade tensrial

$G$ = $G$ $R$ [ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ ] $\delta g^{\mu \nu }\$ $\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho }$ / $R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }.\!$ / $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

$G$ = $G$ $R$ [ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ ] $\delta g^{\mu \nu }\$ $\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho }$ / $R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }.\!$ / $\kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}$ / $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

equçaõ de Graceli para gravidade tensrial

$G$ = $G$ $R$ [ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ ] $\delta g^{\mu \nu }\$ $\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho }$ / $R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }.\!$ / $c$

$G$ = $G$ $R$ [ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ ] $\delta g^{\mu \nu }\$ $\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho }$ / $R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }.\!$ / $\kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}$ / $c$

equçaõ de Graceli para gravidade tensrial

$G$ = $G$ $R$ $\delta g^{\mu \nu }\$ $\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho }$ / $R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }.\!$ / $c$

$G$ = $G$ $R$ $\delta g^{\mu \nu }\$ $\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho }$ / $R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }.\!$ / $\kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}$ / $c$

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